Специалисты по теории чисел в основном считают верным найденное моделью OpenAI доказательство: неочевидные нули дзета-функции Римана лежат в полосе от 1/12 до 11/12 вместо прежней от 0 до 1

Специалисты по теории чисел в основном считают верным найденное моделью OpenAI доказательство: неочевидные нули дзета-функции Римана лежат в полосе от 1/12 до 11/12 вместо прежней от 0 до 1

Журнал Quanta 19 октября рассказал, как математики две недели изучали одну из рукописей OpenAI. Математик Теренс Тао разобрал другую и предложил задачу с применением ИИ.

Нули дзета-функции Римана — точки плоскости, где она равна нулю. Все они, кроме очевидных, лежат в вертикальной полосе между 0 и 1, и чем уже полоса, тем точнее известно, как редеют простые числа. Гипотеза Римана помещает их на прямую посередине полосы. Прежние результаты допускали, что нули подходят к краям сколь угодно близко; «квазигипотеза Римана» утверждает, что от краёв их отделяет фиксированное расстояние.

6 октября OpenAI опубликовала 722 рукописи, две из них — версии доказательства квазигипотезы. В рукописи от 30 сентября (199 страниц) нули заключены в полосу от 1/8 до 7/8, и её результат формально проверен на языке Lean: компьютер сверяет каждый шаг. В рукописи от 5 октября (49 страниц) полоса шире, от 1/12 до 11/12, и машинной проверки нет; зато только её из 722 отредактировал человек. Изучают в основном вторую: она короче.

По словам Quanta, специалисты в основном согласны, что результат верен. Джаред Лихтман из Стэнфордского университета назвал его «самым значительным достижением ИИ в математике на сегодня, с большим отрывом». По словам Максима Радзивилла из Нью-Йоркского университета, «в некотором смысле подавляющее большинство следствий гипотезы Римана уже вытекает из квазигипотезы». Питер Сарнак из Принстонского университета перестроил под рукопись курс, но, как написал в письме, не будет убеждён, что это «Теорема», пока люди не проверят и не поймут все детали.

Рукопись выводит полосу из гашения плюсов и минусов в длинных суммах, где знаки расставляет функция Мёбиуса — по чётности числа простых множителей. Если сумма из D слагаемых не больше примерно D^(11/12), неочевидные нули лежат в полосе от 1/12 до 11/12. Это гашение рукопись доказывает в среднем по семейству сумм: многие из них почти совпадают с исходной. Ключевую роль сыграла формула, которую в 2021 году доказали Радзивилл и Александр Данн.

Сарнак десятилетиями советовал видеть в дзета-функции одну из функций семейства; найденное моделью семейство прежде упускали. Специалисты ветви теории чисел, где работают Данн и Радзивилл, считали её инструменты слабыми для квазигипотезы и ждали решения от другой ветви. Радзивилл называет «довольно смелой» веру модели, что их хватит.

Тао разобрал девятистраничную рукопись, которая напрямую исключает «нули Зигеля» — гипотетические нули функций, родственных дзета-функции, у самого края полосы. Эту рукопись упростили трое математиков с помощью чат-ботов; один из них, Бен Грин, получил свой вариант в сеансе с ChatGPT и записал сам, а Тао изложил его 19 октября. Квазигипотеза исключает такие нули заодно; пока они были возможны, оценки для простых чисел содержали неизвестную константу.

20 октября Тао предложил задачу: вывести с помощью ИИ из каждой рукописи и упрощения верхнюю границу для возможного десятого числа d, при котором целые числа на основе √(−d) раскладываются на простые множители однозначно. Таких d девять; в 1952 году Курт Хегнер предложил доказательство, что других нет. Десятое d породило бы нуль Зигеля, поэтому исключение таких нулей в явном виде даёт границу; при достаточно малой границе оставшиеся d проверит перебор, и выйдет новое доказательство.